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# 第 14 章 余弦定理和新闻分类

对于一篇新闻中所有的实词，计算出它们的 TF-IDF 值，没有出现的词的 TF-IDF 为零。把这些词按照对应的实词在词汇表的位置依次排列，就得到一个多维向量，即该新闻的**特征向量**，向量中每一个维度的大小代表每个词对这篇新闻主题的贡献度。

同一类新闻一定是某些主题词用得较多，即它们的特征向量在某几个维度上的值都比较大。如果不属于同一类，则较大的特征向量应该没什么交集。由于每篇新闻的文本长度不同，所以特征向量各个维度的数值也不同。单纯比较各个维度的大小没有太大意义。但是向量的方向却有很大意义。如果两个向量的方向一字，说明对应的新闻用词的比例也基本一致。因此可以**利用余弦定理计算两个向量的夹角来判断对应新闻主题的接近程度**。

![三角形A角的余弦（14.1）](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%20%5Cleft\(%20A%20%5Cright\)%20%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%2Bc%5E2-a%5E2%7D%7B2bc%7D)

若将三角形的两边![b](https://www.zhihu.com/equation?tex=b)和![c](https://www.zhihu.com/equation?tex=c)看成是两个以![A](https://www.zhihu.com/equation?tex=A)为起点的向量，则上述公式等价于：

![（14.2）](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%20%5Cleft\(%20A%20%5Cright\)%20%3D%5Cfrac%7B%3Cb%2C%5C%20c%3E%7D%7B%7Cb%7C%5Ccdot%20%7Cc%7C%7D)

## 两种计算方法

* 第一种假设我们**已知一些新闻类别的特征向量**，计算出要被分类的新闻和各类新闻特征向量的余弦相似性，余弦越小，相似度越高。
* 第二种假设我们**不知道这些新闻类别的特征向量**，则我们要计算出所有新闻两两之间的余弦相似性，把相似性大于一个阈值的新闻合并成一个小类，然后把每个小类中的所有新闻作为一个整体，并计算出小类的特征向量，再计算出所有小类之间两两的余弦相似性，然后把小类合并成大一点的小类，以此类推，直到小类之间的余弦相似度很小时，就可以停止迭代了。

## 计算向量余弦的技巧

计算 N 篇新闻之间的两两相关性，一次迭代计算复杂度为 N 方，计算量较大。简化方法如下：首先，分母（向量的长度）不需要重复计算，第一次计算余弦以后，长度可以存起来。其次，只考虑向量中的非零元素即可，这样一来复杂度取决于两个向量中非零元素个数的最小值。第三，删除虚词，如“因为、是、的、如果”等等，既提高了计算速度，又减少了干扰。

标题中的词对主题的贡献要大于正文中的；出现在文章首尾中的词比中间部分的词重要。所以，可以对重要位置的词进行额外的加权，以提高文本分类的准确性。

## 小结

求特征向量时，要先计算TF-IDF（即每篇文章中关键词的词频 乘以 关键词的权重。权重与关键词在语料库文章中的集中/分散程度，以及关键字在文章中的位置有关。）。计算余弦相似度时，要注意矩阵存储大小及计算复杂度。


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