第 17 章 谈谈密码学的数学原理

加密的过程可以看做是一个函数的运算，解密的过程是反函数运算。明码是自变量，密码是函数值。好的加密函数不应该通过几个自变量和函数值就能推导出函数。

一般来讲，当密码之间分布均匀并且统计独立时，提供的信息最少。均匀使得敌人无从统计，而统计独立能够保证敌人即使看到一段密码和明码后，不能破译另一段密码。

设计一个密码系统

1. 找两个很大的素数（质数）P和Q，越大越好，然后计算他们的乘积：，。

2. 找一个和互素的整数，找一个整数，使得（为两个表达式作除法运算后的余数）。是公钥，谁都可以用来加密，是私钥用于解密，一定要自己保存好。乘积是公开的。

3. 用公式对加密，得到密码。根据费尔马小定理，得到：，所以要解密，必须知道。

公开密钥的好处有：

• 简单，只涉及一些乘法。

• 可靠，公开密钥方法保证产生的密文是统计独立而分布均匀的。更重要的是、可以公开给任何人加密使用，但只有掌握密钥的人才能解密。

• 灵活，可以产生很多和的组合给不同的加密者。

该种方法破解难度较大，破解的最好办法是对大数进行因式分解，即通过反过来找、，得到、。而找到、目前只有用计算机把所有的数字试一遍的笨办法，耗时很长。这也是为什么、都需要非常大的原因。

小结

密文之间需要相互无关，同时密文还是看似完全随机的序列。信息论诞生后，公开密钥是目前最常用的加密方法。